CH11.3冪級數展開

上傳人:沈*** 文檔編號:182183405 上傳時間:2023-01-20 格式:PPT 頁數:20 大?。?61KB
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1、)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在冪級數在其收斂存在冪級數在其收斂域內以域內以f(x)為和函數為和函數問題問題:1.如果能展開如果能展開,是什么是什么?na2.展開式是否唯一展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數在什么條件下才能展開成冪級數?1.泰勒公式,麥克勞林公式泰勒公式,麥克勞林公式4.展開成泰勒級數展開成泰勒級數)(0的的冪冪級級數數xx )(的的冪冪級級數數x2.泰勒級數,麥克勞林級數泰勒級數,麥克勞林級數第二部分第二部分 函數展開成冪級數函數展開成冪級數:)()()()(),(,1),()(00之之和和與與一一個個余余項項的的一

2、一個個多多項項式式可可以以表表示示為為則則階階的的導導數數內內有有直直到到的的某某區區間間在在含含有有設設xRxPxxxfbaxnbaxxfnn 階階泰泰勒勒公公式式的的在在nxxf0)(nnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 )()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 有有1.泰勒公式泰勒公式(173頁頁Th2)階階麥麥克克勞勞林林公公式式的的nxf)(麥克勞林公式麥克勞林公式(171頁頁Th1):,0)()(!)()(!2)()()()(000)(200000得得中中令令在

3、在 xxRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn.)(階階麥麥克克勞勞林林公公式式的的寫寫出出函函數數例例nexfx 解解,)()(xnexf.1)0()(nf!1!)0()(nnfann )(!1!2112xRxnxxnn )(!)0(!2)0()0()0()()(2xRxnfxfxffexfnnnx ).10()!1()(1 nxnxnexR其其中中的級數稱為的級數稱為泰勒泰勒級數級數麥克勞林級數麥克勞林級數的級數稱為的級數稱為麥克勞林麥克勞林級數級數的的冪冪級級數數為為0 xx 的的冪冪級級數數為為x 000)(00)(200000)(!)()(!)()(!2)()()(:nnnnnx

4、xnxfxxnxfxxxfxxxfxf形形如如 0)()(2!)0(!)0(!2)0()0()0(:nnnnnxnfxnfxfxff形如形如2.泰勒級數泰勒級數展開條件展開條件(P461定理定理1)勒勒級級數數的的某某鄰鄰域域內內能能展展開開成成泰泰在在0)(xxf導導數數的的某某領領域域內內具具有有任任意意階階在在0)()1(xxf0)(lim )2(xRnnnnnxxnxfxf)(!)()(000)(步驟步驟第一步第一步:)(),(),()()(xfxfxfxfn 的的各各階階導導數數求求)0(),0(),0()(nfff 求求第二步第二步:第三步第三步:第四步第四步:寫出收斂域寫出收斂域

5、(1)(1)用直接法用直接法 nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(23.函數展開成函數展開成麥克勞林麥克勞林級數級數例例1解解.)(的的冪冪級級數數展展開開成成將將xexfx,)()(xnexf),2,1,0(.1)0()(nfn!1!)0()(nnfann ),(!1!2112 xxnxxn nnxxnfxfxffexf!)0(!2)0()0()0()()(2 0!nnnx下面介紹某些基本初等函數的冪級數展開下面介紹某些基本初等函數的冪級數展開.)(!)1(21的的和和函函數數寫寫出出冪冪級級數數例例 xnxnnn例例2.sin)(的的冪冪級級數數展展開開成成將將x

6、xxf 解解),2sin()()(nxxfn,2sin)0()(nfn,0)0()2(nf,)1()0()12(nnf ),2,1,0(n )!12()1(!51!311253nxxxxnn),(x nnxnfxfxffxxf!)0(!2)0()0()0(sin)()(2 012)!12()1(nnnnx例例3.)()1()(的的冪冪級級數數展展開開成成將將xRxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()(nfn ),2,1,0(n nxnnxx!)1()1(!2)1(12 nnxnfxfxffxxf!)0(!2)0()0()0()1()()(2 注意注意:.1

7、的的取取值值有有關關處處收收斂斂性性與與在在 x)1,1(x 1!)1()2)(1(1nnxnn nnxxxxx)1(11132 0)(nnxnnnxnnx 21!)!2(!)!32()1(211)1,1(x1,1 x nnxnnxxxx!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx!)!2(!)!32()1(64231421211132nnnxnn 1!)!2(!)!12()1(11,1(x),(!1!211)1(2 xxnxxenx 0!nnnx )!12()1(!51!31sin)2(1253nxxxxxnn),(x 012)!12()1(nnnnx

8、nxnnxxx!)1()1(!2)1(1)1()3(2 1)1()2)(1(1nnxn!n)1,1(x2)2)間接法間接法 通過通過變量代換變量代換,四則運算四則運算,恒等變形恒等變形,逐項求導逐項求導,逐項積分逐項積分等方法等方法,求展開式求展開式.(1)f(x)=cosx)(sincos:xx由由解解 )!2()1(!41!211cos242nxxxxnn),(x )!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn例例4 將下列函數展開為將下列函數展開為x的冪級數的冪級數 02)!2()1(nnnnx-(4).)()!2()1(120的的和和函函數數寫寫出出冪冪級級數數例例 xnx

9、nnn(2)f(x)=ln(1+x)xxdxx01)1ln(nxxxxnn 132)1(31211,1(xxx 11)(ln(1 :由由解解1)1-()1(110 xxxnnndxxxnnn 00)1(1)1(10 nxnnn-(5)xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn1,1 xxarctan )3(211)(arctan :xx 由由解解dxxxnnn 002)1(12)1(120 nxnnn)111(-1)1(111)1-()1(1120220 xxxxxxxnnnnnn-(6)的的冪冪級級數數將將下下列列函函數數展展開開成成例例x 5)ln(5)()2(

10、xxf 2)()5(2 xxxxfxxf2sin)()3()1ln(21)(,11ln)(),1ln()(22xxarctgxxfxxxfxxxf 又又如如222222()43431(4)()43xxxxxxxf xxxf 若若或或2e)()1(xxxf 小小數數點點后后四四位位)(取取二二項項,結結果果計計算算到到的的近近似似值值積積分分利利用用冪冪級級數數展展開開式式求求定定例例dxxx 10sin 7的的冪冪級級數數將將下下列列函函數數展展開開成成例例2-6xxxfln)()2(xxf-51)()1(的的泰泰勒勒級級數數展展開開成成0.4xx 的的冪冪級級數數展展開開12)()3(xxxxf四、小結四、小結2.冪級數的收斂性冪級數的收斂性:收斂半徑收斂半徑R3.冪級數的運算冪級數的運算:分析運算性質分析運算性質1.函數項級數的概念函數項級數的概念:

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